金城翼

【位相幾何パズル】 難易度はIMO1~2番級くらい。気持ち良く解けるので暇つぶしにオススメ

想定解答も置いておきます。補題4の表現論パートが気持ちいい（僕はこのステップに気付けずゴリ押してしまった）

AIに作ってもらった代数幾何パズルが結構面白かった。主張自体も意外性があって面白い。難易度はIMO2~3番級くらい

この計算で三次元多様体のラングランズ双対性予想の成立を確信したのですが、ほんの数日前に反例が見つかりました😭 一方で多くの場合に成立するのは確かで、例えばザイフェルトだと成立するはずです。双曲多様体でも非自明な成立例がたくさんあり、現在は予想の修正版を模索しています。(終)

冒頭の恒等式は直接証明でき、両辺をエータ関数で展開するとヤコビのテータ関数の恒等式に帰着できます。一般にM=T^3のときに前ツイートの公式を使ってラングランズ双対性が示せます(一ヶ月前にAstraがケースバイケースの計算で証明してくれました)

この予想をM=T^3, G=Sp_{2n}で考えると冒頭の等式が復元されます！ ※ 一般にa(T^3; G)はGの可換な四つ組であって、うち三つは半単純でもう一つは冪単であり、四つ組の中心化群が非自明なトーラスを含まないようなものの共役類の数と一致することが示せます。

連結コンパクトリー群(の複素化)には双対群と呼ばれる群が定義されます。表のように元の群と全く異なる群になることもあります。 a(M; G)が群を双対に取り替える操作で不変になるというのが三次元多様体のラングランズ双対性予想の定式化の一つです。

冒頭の等式は「位相的DT不変量」の計算の副産物として見つけました。この不変量は向き付き閉三次元多様体Mとコンパクトリー群Gを引数に持つ整数です。 ※ a(M; G)は局所系(Mの基本群からG_{C}への準同型)を仮想的に数える不変量で、BPSコホモロジーの次元の交代和として定義されます。

画像の等式は最近の研究で見つけたものです。一見単純な恒等式ですが、背後には三次元多様体のラングランズ双対性があります！