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金城翼

@KinjoMath

数学者/代数幾何・数え上げ幾何/IMO2013

 京都
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【位相幾何パズル】 難易度はIMO1~2番級くらい。気持ち良く解けるので暇つぶしにオススメ
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昨日教えてもらったんだけど、Shareshian–Wachs予想の証明（OpenAI169）かなり面白そう。主張自体はグラフの彩色に関する初等的なものだけど、証明にscattering diagramとかDT理論的なアイデア（CoHAのPBW定理）を使うらしい。
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今日はこの証明のアウトラインを教えてもらったが、想像以上に衝撃的な話だった。q-彩色多項式のe-展開の係数が対応する量子散乱図のテータ基底の係数とぴったり一致し、Davison-Mandelの正値性からSW予想が従うらしい（OpenAIの論文は正値性の別証明も議論していて、それで長くなっているとか）
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AIに作ってもらった代数幾何パズルが結構面白かった。主張自体も意外性があって面白い。難易度はIMO2~3番級くらい
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想定解答も置いておきます。補題4の表現論パートが気持ちいい（僕はこのステップに気付けずゴリ押してしまった）
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よく考えたら補題3を示した時点でオイラー数の可除性から補題4が従うね こっちの方が思いつきやすいかも
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さっき142857の巡回現象と原始根について解説する動画を撮影したのだが、帰ってきて動画データを確認したらめちゃくちゃ計算間違えてて全然巡回してなかった😅 来週また撮り直さないと…
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コメント付き論文リスト読むの楽しいのでもっと流行って欲しいな
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画像の等式は最近の研究で見つけたものです。一見単純な恒等式ですが、背後には三次元多様体のラングランズ双対性があります！
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冒頭の恒等式は直接証明でき、両辺をエータ関数で展開するとヤコビのテータ関数の恒等式に帰着できます。一般にM=T^3のときに前ツイートの公式を使ってラングランズ双対性が示せます(一ヶ月前にAstraがケースバイケースの計算で証明してくれました)
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この計算で三次元多様体のラングランズ双対性予想の成立を確信したのですが、ほんの数日前に反例が見つかりました😭 一方で多くの場合に成立するのは確かで、例えばザイフェルトだと成立するはずです。双曲多様体でも非自明な成立例がたくさんあり、現在は予想の修正版を模索しています。(終)
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OpenAIが生成した粗悪な論文群をAIなしで解読するのはほぼ不可能で、AIへのアクセス格差がある以上、これらの結果への理解の深さを業績評価に組み込むのは慎重になる必要がありそうですね。AI企業は読める状態にして公開するべきだし、数学者側も論文に関してなるべくオープンに議論をするのが良さそう
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OpenAIのSL_nのP=Wの論文(043)大体理解できた(細かい計算はまだチェックしてないけど）。面白かった！ 以下背景と感想： ・P=W予想はヒッチンファイブレーションが誘導するコホモロジーの偏屈(P)フィルトレーションと指標多様体の重み(W)フィルトレーションが一致するという不思議な主張。(1/6)
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・普遍束のチャーン類の積とヘッケ作用/モノドロミー作用を合わせてsl_2作用を作り、両者のfiltrationが作用のウェイトから誘導されることから二つのフィルトレーションの一致が示される。このアイデアはHMMSの方針と似ているが、sl_2作用の実現は新しい(この構成は結構エスパーみがある)。(5/6)
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・この議論は一般の簡約群Gにも適用できそうだが、特異点やstackinessの処理などに別の新しいアイデアが必要そう。(6/6)
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