大学数学の「最初からそう言ってくれよ」ってやつまとめました。 1. 同値関係は分類を与える 「同値」は“同じとみなす”という約束。 集合を1個ずつ見るのでなく、同値類ごとに整理するための道具。 2. 有限次元ベクトル空間は、結局 K^n だと思ってよい 基底を選べば、ベクトルはただの n 個の数の並びになる。 抽象空間で証明して、計算は K^n でやる、ができる。 3. 統計とは「ソフトな論理」 数学の論理が「必ずそうなる」を扱うなら、統計は「どれくらいそう言ってよいか」を扱う。 不確実さの中で、断定ではなく根拠つきで判断するための道具。 4. 標準形は便利なだけで、必ずしも自然ではない 標準形に直せることは強い。 でも自然なのは対象そのものであって、標準形は人間の都合で作った見やすい表示。 5. 線形写像は、基底を選べばただの行列 T→W は、基底を固定すると行列で表せる。 行列は別物ではなく、線形写像の座標表示にすぎない。 6. 連立一次方程式 Ax=b を解くとは、写像の構造を見ること b が像に入るかを見て、解は「特解 + kernel」で全部わかる。 ただの計算問題ではなく、空間の問題として見ると整理しやすい。 7. 多項式全体もベクトル空間 a0+a1x+…+anx^n は、係数を並べればベクトルだと思える。 だから微分・積分・補間も、かなり線形代数っぽく見えてくる。 8. 関数全体は無限次元ベクトル空間 関数も足せて、定数倍できるので、立派なベクトル。 フーリエ級数は「関数を基底で展開している」と思うと急につながる。 9. フーリエ展開は、波の基底による座標表示 sin や cos は、関数空間の基底みたいなもの。 フーリエ係数は、関数の“座標”だと思うと見通しがよくなる。 10. 商空間 V/W は「違いを無視して潰した空間」 W 方向の違いは同じとみなす、という操作。 “割る”というより、“同一視する”と思った方が本質に近い。 11. 双対空間 V* は「ベクトルを数に変えるもの全体」 ベクトルそのものではなく、ベクトルを測る側を見る発想。 有限次元では行ベクトルっぽく見えるので、意外と具体的。 12. 対角化は「うまい座標系を選ぶ」だけ 難しい行列を、いちばん自然に見える基底で書き直している。 固有ベクトルは、その変換で混ざらない特別な方向。 13. 準同型の核を見ると、何が潰れているかわかる kernel は、その写像で見えなくなる情報。 V/ker T ≅ Im T は「潰したあとに残る本質が像」という意味。 14. 微分方程式は「状態が時間で動く法則」 式を解くというより、状態空間の中の流れを見る。 x'=Ax は、行列が時間発展を支配していると思うとわかりやすい。 15. テンソル積は「2変数の線形性を1つにまとめる装置」 V×W で別々に線形なものを、まとめて線形に扱いたい。 最初は人工的だけど、行列・双対性まで一気につながる。 16. 確率過程は「ランダムに動く時間変化」 時間ごとに確率変数が並んでいると思えばよい。 偶然を1回ではなく、流れとして見るための枠組み。 17. マルコフ性は独立性の一般化「今わかれば、過去は要らない」 次を決めるのに必要なのは現在だけ。 履歴全部を持たなくてよい、という強い整理。 18. エルゴード性は「長く見ると、全体像が見える」 1本の長い観測で、全体の平均的ふるまいが見えてくる。 時間平均と空間平均がつながる